后者为对黎曼型度量的偏离,芬斯勒几何中的内积不是概念在切丛上的

硕士最后的一年多一向在研商的就是Finsler几何及其上的大体。
  然后就径直觉得那货似乎很不直觉。。。
  最令人感觉不对头的,就是对待黎曼几何,芬斯勒几何中的内积不是概念在切丛上的,而是定义在节丛上的,这几个很不自然。
  所以,就直接在考虑怎么从一种截然两样的角度来搞那一个难题。
  那就是一份有关的笔录。

过年在家,为了让那个年有点年味,而且也为了回顾立时就要去北漂,所以打算做点东西,于是就有了那篇作品。


嗯,固然有成百上千划算,但主旨仍旧一个脑洞,一个Toy Theory。

一旦大家早已有了微分结构,但还从未度量结构。
  那么此时大家得以获取怎样吧?
  协变矢量Vμ与逆变矢量Aμ必然是可以部分,所以大家得以博得种种逆变协变以及混合张量。大家也照样有协变基矢和逆变基矢的双料关系niμnjμij
  由于协变矢量与逆变矢量的对偶性,大家可以认为它们然而是同一个东西的三种不相同表明,所以不妨就用“矢量”来取代。
  矢量在切空间中的表示就是协变矢量,而在余切空间中的表示就是逆变矢量。
  在唯有微分结构为没有度量结构的时候,我们还是能定义一种“场”,便是在每一点上都得以将TM(m,
n)中的元素映射到TM(p,
q)中,即可以将一个m阶协变n阶逆变的张量映射到一个p阶协变q阶逆变的张量,或者利用从前的双双之后的见地来说,便是将一个m+n阶张量映射为一个p+q维张量。
  在坐标变换下,上述情节都得以具备强烈的转换规则而不会滋生歧义。
  但,比较有趣的是只要是非坐标变换,比如对已一般的映射F:
TM(1)→TM(1),就好像就很难推广到任意的TM(m, n)→TM(p,
q)上,除非映射是线性映射,那么可以在操作意义上找到合理的外推。


下边,在那样的上空上引入度量结构,且不须求该度量是黎曼的,从而得以是芬斯勒度量。

只要时空的胸怀具有如下Finsler格局:

心胸和内积的涉嫌是可怜幽默的。
  可以说,内积包罗了胸怀,因为矢量Vμ与我的内积就是它的模长的平方,那是内积与胸襟的契合点:〈Vμ,
Vμ〉=|Vμ|2
  在观念的Finsler几何中,从度量到内积的收获格局是那样的:

图片 1

  对于黎曼度量,上市左边的度规张量只是地方xμ的函数,从而和矢量yμ毫无干系,因而流形切空间中矢量的内积只和切空间所在地方的度规张量相关,也就是说内积是概念在切丛上的。
  但在Finsler几何中,左侧的度规张量不但和地方xμ连带,还与矢量yμ有关,从而现在矢量之间的内积不但和参与内积的三个矢量以及切空间所在地点相关,还与某个第三方的矢量相关,从而内积是概念在其节丛上的,而非切丛。
  通过简单的推理大家得以知道,假诺要保险传统内积的定义,那么只可以将内积放到节丛上,从而此难点不可以防止。
  但,内积的概念自己是从经验中得来的,而原来的阅历中定义在切丛照旧节丛上并从未强烈的认证,尽管涉世中都是概念在切丛而非节丛上的,所以大家可以适当地扬弃某些既定经验,越发是未曾写小说的经历,来协会一个定义在节丛上的内积。
  可,反过来说,大家也得以屏弃一些既定的稿子经验,从而选用另一条路。
  这么一来,问题就很有意思了——假定内积不是对称的,会什么?

内部第一局地是观念的黎曼型度量,后者为对黎曼型度量的偏离,从而结成Finsler度量。

从纯几何直观来说,内积可以被发布为如此一个东西:
  矢量V1μ在矢量V2μ趋势上的阴影长度与V2μ长度的积,就是V1μ和V2μ的内积。
  拔取这些几何直观的概念,在黎曼几何中,我们不难阐明V1μ到V2μ的内积和V2μ到V1μ的内积是千篇一律的,从而内积是对称的。
  但,在Finsler几何下,这种对称性就被打破了:

如此的Finsler度量一般的话是很难直接求解的,于是大家那里假定:h卓殊小,从而拥有高阶项都得以忽略

  在那几个概念中,“投影”被定义为从V2μ的端点到V1μ上某一点的距离最短,则该点就是V2μ到V1μ的阴影地点。值得注意的是,对于最一般化的Finsler流形,上述的样子假使反过来的话,将提交截然差其余概念结果,因为在最一般化的Finsler度量中,并不须要如下等式的建立:

那样的话,会为计算带来一定的造福,比如度量的平方(这几个在Finsler几何中比度量本身更常用):

  当然,我们还是能够选拔将上述定义做一个“代数化”,考虑一个无限小变化,从而V1μ变化到V2μ=V1μ+dVμ,那么此时上述内积的概念在无边小范围内可以被公布为进一步简明的样式:

图片 2

在Riemann几何中,上述三种格局的概念是等价的。
  如上定义后,大家自然就得到了从V1μ到V2μ的内积的定义,且那样定义的内积即便是非对称的,但却符合几何直观——虽然几何直观这几个必要在真的的几何学看来是一个谣言,但我个人认为比将内积从切丛搬到节丛要可相信。
  现在内积为一个TM(1)×TM(1)→TM(0)的照射(并非从TM(2)→TM(0)的照射),并记为〈V1μ,
V2μ〉。那样的内积不满足对称性,而且一般也不满意双线性,因为它是可观方向看重的——这也是Finsler几何和Riemann几何最大的不相同,Riemann几何从能够在一些通过坐标变换到成为Minkowski几何,后者是可行性无关的。但非Riemann的Finsler几何无论怎么着都无法通过坐标变换变成Minkowski几何,从而也就必定是大势重视的了——在观念Finsler微分流形中,那种动向看重性体现在内积被定义在节丛上,从而大家始终都亟待一个第三方矢量来作为“依赖方向”,而现行那种倾向依赖性展示在内积算符的非对称与非双线性上。


在此基础上,我们当然可以在余切丛上也定义内积,只要经过协变矢量与逆变矢量的对偶性即可。
  可是由于内积本身强烈重视于矢量,从而对于张量来说就不存在内积的合理外推。
  事实上,在Riemann几何中,内积原本是概念在TM(1)×TM(1)上的,但由于其将内积外推到了度规张量,后者的意思远较“内积”本身宽泛与增进,从而使得TM(m)→TM(m-2)的映照成为可能。
  由此,度规本身是一个比内积具有更充足内涵的几何实体。
  而后日,大家拥有的而是是一个二目算符〈,〉:
TM(1)×TM(1)→TM(0),从而并无法做那样简单的外推,因为这么些算符既然不满足线性需求,那就无法透过简单的长空直积来博取推广。
  为此,对于张量的“缩并”(原意是TM(m, n)指定八个目的缩并以得到TM(m-1,
n-1),那里给予了开展)必须利用和内积分裂的概念格局,并有限协助在再次来到Riemann几何后方可后退到Riemann几何的结果。
  对这么的“缩并”近期个人认为相比较适宜的是透过对目标球的积分来取得,只不过对于积分体元来说,如同还尚未提交一个较好的概念。
  很通晓,在继内积失去对称与双线性那五个举足轻重特征后,度规张量也失去了定义,而缩并也就与内积形同陌路了。那里充满了各样陷阱,每一个都很有可能是的那种内积的概念格局失效,从而只好回到将内积定义在节丛从而继续维持对称性与双线性的亮点但还要不得不引入第三方矢量的缺点,那些Finsler微分流形的老路上来。

下一场,大家来看Clifford代数中的一个属性:

有了内积后,大家自然要问这么一个标题:现在的牵连是什么样?
  所谓联络,是将某点切空间中的矢量输运到邻点切空间中的一个映射,从而可以被那样标记:

图片 3

  大家得以尤其认为关系对切空间中的矢量来说是线性的,从而就有:

此处Q是一个二次型,且不难见到它就是度量的平方(假定Clifford代数定义在一个所有度量结构的几何流形上)。

  在怎么规定联络的现实方式方面,Riemann几何选择的适配条件是对度规张量的协变微分为零。可大家现在从未度规张量,从而只可以使用另一种概念格局。
  另一方面,在观念的Finsler微分几何中,大家得以小心到在很大一类Finsler流形上,连接两点的自平行曲线(即寻常所说的“直线”)和连续两点的最短曲线很可能不是同样条直线,也就是说在Finsler流形上一般不设有“连接两点最短的是直线”那样的几何直观与几何经验。可一旦大家需求那一点持续维持,会如何啊?
  必要那点持续维持,就等于是说要求自平行曲线必须是极值曲线,即上边七个方程必须同时建立:

Finsler几何当然不是二次型度量的,所以不可能直接动用上述柯利弗ord代数结构,从而传统的Finsler几何选拔如下方式的定义在节丛上的内积:

  那样,引入扶助0阶齐次对称张量

图片 4

以及度量F是一阶齐次的,大家可以提交联络:

但那种概念的瑕疵,就是七个流形上矢量的内积还在于第多少个矢量的势头(因为是概念在节丛上的),那点自己也是有点反传统的。

尤为,利用预设联络对V来说是线性的,引入上述支持张量的逆:

那么,倘诺大家那边强行使用柯利弗ord型内积,会得到哪些吧?

以及帮忙-1阶齐次张量:

最简便的,当然是直接使用如下情势的内积定义:

大家可以有:

图片 5

若果越来越考虑到此地矢量Vμ作为方向存在从而不应当显含其对坐标的微分,那么地方的结果可以动用Cμνλ的-1阶齐次的风味而赢得结果:

但,大家都明白,Clifford型内积的代表其实也并不唯一,比如上边那多少个在二次型Q的场地下是等价的:

  可知,定义器重于输运方向的线性的联络函数照旧得以创制的。
  这里,联络的第一有些和传统Riemann几何上的克氏符是同等的,而第二局地中的-1阶齐次张量在Riemann几何中恒为零,从而是Finsler几何上所特有的部分——那一点在观念的Finsler几何中也是这么。
  更幽默的是,由于-1阶齐次函数的表征,咱们可以知晓那第二有些其实可以乘上一个肆意的参数n而不改动结果,由此现在挂钩事实上可以写为:

图片 6

此地的第二局部在花样上很简单令人回顾Riemann几何中的扰率,但真相上那两者却是很差异的,大家其实仍能引入一个单独的不予称张量Tμνλ与Vμ的积TμνλVλ来作为扰率存在而不影响结果。
  由于联系现在凭借于方向,从而联络对于输运方向一般是非线性。但对此输运的矢量却是线性的,从而那样的调换可以对各类张量定义(协变张量的协变微分那里曾经交付,而逆变张量的协变微分则足以透过对偶性获得)。而且,也出于联系对输运方向是非线性的,从而现在原生态地就会并发扰率(而无需引入上述提及的不予称扰率张量):

但对此Finsler度量,上述多少个姿态互相之间是不等价的,有其对于一些Finsler度量,假设不满意强一阶齐次,而是弱一阶齐次,那么此时大家有:

这边前边的蕴涵联络的局地变给出了扰率算符:

图片 7

  显著,现在扰率的产出是出于度量的倾向依赖性而本来引入的,并不要求如Riemann几何中这样额外地给出与度规毫无干系的不予称部分作为扰率。
  进一步大家可以定义Riemann曲率张量:

于是下边式子中的矢量差部分Q(u-v)就变得很微妙了,到底是u-v仍旧v-u?

进而有:

此地,大家引入第三个比方:Finsler的内积是非对易的。

可以见见,现在原本是张量的扰率和曲率,现在都成了张量性算符,即要是付出方向,便得以交给由那七个方向所规定的一个矢量或者张量。
  如若我们有了缩并算子,那么就足以行使Riemann曲率算符给出Ricci曲率算符Rμ(Aμ),接着再采用缩并算子来给出Ricci曲率标量。
  从花样上的话,现在线性部分代表切丛纤维之间的投射,而作为函数参数的五个方向则一心是流形上的,从而将小小和底流形在款式上加以了分化。
  相比较传统Finsler微分几何,大家发现众多凭借于第三方矢量而定义的曲率张量都毁灭了,比如Flag曲率等等。
  但也无法说如何收获都尚未,毕竟现在具备的几何都定义在切丛上,从而现在一旦做物理的话,意义也就更醒目了——大家在价值观Finsler微分几何中并不确定那第三方矢量的大体意义是怎么着,只好交给种种假定。

那就是说,现在,大家就动用如下方式的内积来切磋:


图片 8

嗯,大约就整理成这么了呢。

其一内积的概念在L为黎曼型度量的时候自然回归到黎曼型内积,而在非黎曼型的Finsler度量下,则能交到分裂的结果——尤其是,假设Finsler度量具有强一阶齐次性,那么那么些内积是对称的;但假使唯有弱一阶齐次性,那么那么些内积非对称,非对称的一对能够领会为扰率。


上边大家用|V|来代表流形上矢量V在早先所说的Finsler型度量的黎曼部分功用下的尺寸,从而对于弱Finsler流形,上述内积可以交给如下方式:

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4.0商谈
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有了胸怀,大家可以来看流形上的极值曲线:


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以及自平行曲线:

图片 11

里头传统偏导是对坐标的偏导,而变分符号在那边表示对矢量部分的偏导,联络函数对第四个变量是一阶齐次的。

假定我们渴求极值曲线与自平行曲线在别的情形下都卓绝,那么就可以收获联络的发挥:

图片 12

在弱Finsler极限下就有(上标V表示是V的函数):

图片 13

其中

图片 14

所以就有(注意对第一个参数的一阶齐次必要):

图片 15

其中

图片 16

能够观看,这么选拔的关联函数,对于四个参数都是一阶齐次的,算是一个很好的习性。更距离的话,对于方向矢量V不是线性的而只是一阶齐次,而对于被输运矢量A确实线性的。

本条方式当然是非唯一的,越发对于一些量到底是选A依旧V,其实有很大的任意性。那里根本考虑的仍然关于第一个参数的一阶齐次要求,接着就是尽可能使被输运的矢量的机能简单,从而一切的复杂只呈现在倾向的选项上。

从最终的表述来看,联络函数的率先项的率先部分是价值观黎曼动力项,第二项的第一有些是传统专业场项。第一项与第二项的第二局部则都是引力与规范场的耦合项,且第一项的第二片段在增选传统规范场格局的时候自动消失。

而规范场的有的,在加速度的表达式中,大家得以认为粒子运动的切矢量的长短为常数且模为1,从而第一项是动力加速度,第二项是规范场导致的加速度,第三项则是和进度的三阶项有关,从而会提交高速移动下的高能订正,由此一旦那个模型是不易的,那么大家可以预期在高能下会有例外的粒子行为。第四项在观念专业场下自动消失从而不考虑。

至于联络函数最后的有些,则是一个非对称项,可以说是扰率,那里不考虑。

接下去,让我们谈论一个很有意思也很有难度,同时也是一个实验性的话题:上述这么些流形上的曲率,是多少?

更进一步,曲率标量R现在是何等?


鉴于大家明日撤回了原本Finsler几何定义在节丛上的度规张量,所以对于如何做内积是一件很难办的事。

固然我们可以透过最初步的章程定义八个矢量的内积,但对于更平凡的张量,恐怕是力不从心的。

为此,那里大家应用如下方案:

图片 17

其间曲面dΩ是流形上的单位球面,即目标球,而矢量n就是从球心指向单位球面的单位向量。

透过上述积分得到的标量T,在黎曼几何中与张量T对下标的缩并得到的标量之间,只差一个由流形维度决定的全面。

借使我们将分子被积函数拓展为一个n阶张量与n个单位矢量构成的函数,那么那些积分的特色,就是假如该数中包涵奇多次个单位矢量,那么这么些积分为0;假使带有偶很多次个,那么会获得非零的结果,其中如上花样的二次形能够提交张量的缩并。

而在弱Finsler流形上,这几个特性会迥然分化:由于单位矢量被度量的h部分做了强化,从而有可能会在奇数十次项中留给非零部分。

尤其,当大家着想的是正经场形的弱Finsler流形时,那种“激化”由正规矢量场A给出。

由此,假如大家使用上述积分方式来作为张量缩并的方案以来,那么大家就可以继续研究在如上框架下的流形曲率的题材了。

为了不难起见,大家前几日假设上述弱Finsler流形的黎曼度量部分是Minkowsky的,从而现在流形的牵连函数可以写为:

图片 18

今昔我们着想交错协变微分(弱Finsler极限下):

图片 19

接下去,对其考虑前边所说的积分。

先是,将U与A取为眼前所说的单位矢量做积分,接着再给结荚和矢量V一起做缩并,就足以收获如下结果:

图片 20

其间上标(1)的有些来自场强H与一个单位矢量的一路积分,上标(2)的有的来自场强H与三个单位矢量的一头积分。

那东西是还是不是望着越发丰裕熟练?

我们将正式矢量场A及其场强F代入:

图片 21

所以,在作为职能量的时候,在全空间积分并忽略边界项后可得:

图片 22

您看,和历史观规范场的功用量就差一个常数周到,从而可以认为所有规范场方式的弱Finsler流形当黎曼部分为闵氏度量的时候给出的就是规范场。

当黎曼部分不是闵氏度量时候,大家也足以做一样的操作,此时会拿走黎曼部分对应的广义相对论的Ricci标量,上述标准场强,以及规范场部分与黎曼引力部分的耦合项。

但,就和粒子运动部分在快捷状态下会和历史观黎曼几何有距离一样,对于黎曼动力部分不为零的图景,规范场和动力场的耦合的款式和传统的方枘圆凿,因而在高能景况下也是足以注解的。


此间不可不要提出的某些是,上述计算存在几点很不审慎的地点。

重在就是对于缩并用的积分的乘除,那几个计算在欧氏几何上能够给出所要的结果,在黎曼几何上也可以,但对此时空那种赝黎曼几何,则是存在一个无穷大发散的,将以此无穷大发散扣除后的一定量部分,可以给出所要的结果。

但那种“正规化”为何可以做,则单纯是一种随意的抉择,如今并不知道什么根据——或许是经过Wick转动,从时空转动到欧氏空间,然后做积分,再转回来,那倒是很传统的量子场论中用过的招数。

一边,固然是黎曼几何上没难点,那么些积分在Finsler几何下是还是不是仍旧创设,那就不晓得了。当然,这里处理的是弱Finsler几何,所以可能仍然有效的啊。


最后是有的钻探。

就和紧致化是对蜷缩的额外维做展开后只取一阶项一样,那种弱Finsler几何的法子也是对Finsler度量做微扰后只取展开的一阶项,两者在那几个思想上是均等的,随后的反差就反映在弦论是针对所有额外维的黎曼几何做拍卖,而Finsler几何则是对具备非黎曼度量的四维Finsler时空做拍卖。

和一部分量子引力的流派(比如这一次吴岳良院士所采用的从郭汉英等前辈我国地历史学家初始就是用的Lorentz群规范场的派别)师长广义相对论中作为流形联络的动力变为纤维主丛联络的法门不相同,那里不再将外延几何转化为内涵几何,而是反过来,将原本作为内蕴的纤维丛性质的规范场视为外延的胸襟上的Finsler型变化,从而是将内涵几何转化为外延几何。

弦论利用额外维来做那种由内而外的变化,其实也是一个想法。

自然了,至于最后能不可能做成,这么些另说,或许那个模型始终也只是是一个Toy罢了。

并且,那里时空的胸襟就好像定死的,完全不受带荷粒子所教导的力荷的熏陶,那种对富有物质天公地道的风味,鲜明会付给不带电粒子的一颦一笑也和带电粒子一样那种奇异的事体。因而,或许莫过于景况时空的度量会随着在其上活动的粒子的某些质量而改变,也如故这么些模型然而实在就只是一个Toy罢了——个人近期协理于后世。

再者,这里肯定给出了高能下截然区其他一举一动,那我就很有挑战——因为不难的试验大概就能把那货到底否掉了呢。

当然也有很小很小的恐怕,大家找到了联合引力与规范场的框架,科科~


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