芬斯勒几何中的内积不是概念在切丛上之。假定时空之心地具有如下Finsler形式。

研究生最后之同一年差不多直接当研的即是Finsler几何及其上之大体。
  然后即直接发这货似乎非常无直觉。。。
  最受人口备感尴尬的,就是比黎曼几哪,芬斯勒几何中之内积不是概念在切丛上的,而是定义在节丛上之,这个深不自然。
  所以,就径直于考虑怎么由同种截然不同之角度来搞此问题。
  这就算是一样份有关的笔录。

过年在家,为了给这年来硌年味,而且也以想这将去北漂,所以打算开点东西,于是便有矣即篇稿子。


哦,虽然发为数不少划算,但中心要一个脑洞,一个Toy Theory。

一经我们早已产生矣微分结构,但还未曾度量结构。
  那么此时咱们可赢得什么吧?
  协变矢量Vμ及逆变矢量Aμ必然是足以有,所以我们得得各种逆变协变以及混合张量。我们为仍然时有发生协变基矢和逆变基矢的夹关系niμnjμij
  由于协变矢量与逆变矢量的对偶性,我们得看其可大凡跟一个东西的简单种植不同表达,所以不妨就用“矢量”来代表。
  矢量在切空间中之代表虽是协变矢量,而在余切空间中之表示虽是逆变矢量。
  在只有微分结构为没有度量结构的当儿,我们尚可以定义一栽“场”,便是在各个一点及都得以用TM(m,
n)中的元素映射到TM(p,
q)中,即好将一个m阶协变n阶逆变的张量映射到一个p阶协变q阶逆变的张量,或者以前的双料之后的观点来说,便是将一个m+n阶张量映射也一个p+q维张量。
  在坐标变换下,上述内容还好拥有强烈的转换规则而无会见挑起歧义。
  但,比较有趣之是使是不坐标变换,比如对准就一般的映射F:
TM(1)→TM(1),似乎就是颇不便推广到任意的TM(m, n)→TM(p,
q)上,除非映射是线性映射,那么可以在操作意义及找到合理之外推。


脚,在如此的半空中达到引入度量结构,且不求该度量是黎曼的,从而可以是芬斯勒度量。

一旦时空之襟怀具有如下Finsler形式:

心胸和内积的干是坏有意思的。
  可以说,内积包含了胸怀,因为矢量Vμ与本人的内积就是她的模长的平方,这是内积与胸襟的契合点:〈Vμ,
Vμ〉=|Vμ|2
  以传统的Finsler几哪里中,从度量到内积的得到方式是如此的:

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  对于黎曼度量,上市左侧的度规张量只是位置xμ的函数,从而与矢量yμ无关,因此流形切空间被矢量的内积只和切空间所在位置的度规张量相关,也就是说内积是概念在切丛上之。
  但以Finsler几何中,左侧的度规张量不但和位置xμ系,还同矢量yμ连带,从而现在矢量之间的内积不但和与内积的简单只矢量以及切空间所在位置相关,还与某个第三正在的矢量相关,从而内积是概念在那个节丛上的,而无切丛。
  通过简单的演绎我们可以知晓,如果假定确保传统内积的概念,那么只能用内积放到节丛上,从而此题材无法避免。
  但,内积的定义自己是由更中得来的,而原本的涉被定义在切丛还是节丛上并没强烈的求证,虽然经历被都是概念在切丛而未节丛上的,所以我们可适合地放弃某些既定经验,特别是没写稿子的经验,来布局一个概念在节丛上的内积。
  可,反过来说,我们也可以放弃一些既定的稿子经验,从而选择其他一样长条路。
  这么一来,问题不怕够呛风趣了——假定内积不是指向如之,会怎样?

中间第一有些凡民俗的黎曼型度量,后者为对黎曼型度量的离,从而组合Finsler度量。

自打纯几何直观来说,内积可以吃发表为这样一个事物:
  矢量V1μ在矢量V2μ大势直达之黑影长度以及V2μ长度的积,就是V1μ和V2μ的内积。
  采用这几乎何直观的概念,在黎曼几乎哪里中,我们好证明V1μ到V2μ的内积和V2μ到V1μ的内积是如出一辙的,从而内积是本着如之。
  但,在Finsler几何下,这种对称性就让打破了:

然的Finsler度量一般的话是蛮为难直接求解的,于是我们这边而:h非常小,从而拥有高阶项都好忽略

  以斯定义着,“投影”被定义也从V2μ的端点到V1μ达某平等点之离太缺,则该点就是V2μ到V1μ的阴影位置。值得注意的是,对于极端一般化的Finsler流形,上述的倾向要反过来的话,将吃来截然不同之定义结果,因为当绝一般化的Finsler度量中,并无求如下等式的建:

这样的话,会吧计算带来一定的便宜,比如度量的平方(这个在Finsler几哪中比度量本身还常用):

  当然,我们尚好选用上述定义做一个“代数化”,考虑一个海阔天空小变化,从而V1μ变化到V2μ=V1μ+dVμ,那么这上述内积的定义在无边小范围外足以为发表为更加简洁的款式:

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在Riemann几何中,上述两种植形式之概念是当价格的。
  如齐定义后,我们本就是得了从V1μ到V2μ的内积的概念,且这样定义的内积虽然是匪对如之,但也合几哪里直观——虽然几哪里直观这个要求于真的几何法看来是一个谣言,但自我个人觉得于用内积从切丛搬至节丛要靠谱。
  现在内积为一个TM(1)×TM(1)→TM(0)的照耀(并非由TM(2)→TM(0)的炫耀),并记否〈V1μ,
V2μ〉。这样的内积不满足对称性,而且貌似为非饱双线性,因为她是莫大方向依赖的——这吗是Finsler几何和Riemann几哪太特别之分别,Riemann几何从可以于有些通过坐标变换来成Minkowski几哪,后者是来势无关之。但非Riemann的Finsler几何无论如何都不容许通过坐标变换变成Minkowski几哪,从而为就算得是趋势依赖之了——在传统Finsler微分流形中,这种趋势依赖性体现在内积被定义在节丛上,从而我们始终犹用一个叔正在矢量来作为“依赖方向”,而今日这种势头依赖性体现在内积算符的免对如和非双线性上。


每当是基础及,我们当然好以余切丛上吗定义内积,只要通过协变矢量与逆变矢量的对偶性即可。
  可是由于内积本身强烈依赖让矢量,从而对张量来说就是不存在内积的客观外推。
  事实上,在Riemann几何中,内积原本是概念在TM(1)×TM(1)上的,但出于该将内积外推到了度规张量,后者的意义远较“内积”本身宽泛与丰富,从而使TM(m)→TM(m-2)的照成为可能。
  因此,度规本身是一个比内积具有双重丰富内涵之几何实体。
  而本,我们具有的而大凡一个二目算符〈,〉:
TM(1)×TM(1)→TM(0),从而并无可知做如此概括的外推,因为这个算符既然不满足线性要求,那就算非克经过简单的上空直积来获得推广。
  也夫,对于张量的“缩并”(原意是TM(m, n)指定两个因标缩并因得TM(m-1,
n-1),这里施了进行)必须采取与内积不同之概念方式,并确保在回Riemann几何后得以倒退及Riemann几何的结果。
  对如此的“缩并”目前个人觉得于适合的凡经过对指标球的积分来收获,只不过对于积分体元来说,似乎尚尚无让来一个较好之概念。
  很显著,在跟着内积失去对如和双线性这点儿单重点特征后,度规张量也去了概念,而缩并也即与内积分道扬镳了。这里充满了各种骗局,每一个都很有或是的这种内积的概念方式失效,从而只能回去用内积定义在节丛从而继续维持对称性与双线性的长处但以不得不引入第三在矢量的先天不足,这个Finsler微分流形的老路上来。

接下来,我们来拘禁Clifford代数中之一个性质:

出矣内积后,我们当而问这么一个问题:现在底牵连是什么?
  所谓联络,是用有点切空间中之矢量输运到邻县点切空间受到的一个炫耀,从而得以被这么标记:

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  我们可以进一步看关系对切空间被的矢量来说是线性的,从而就时有发生:

这边Q是一个二次型,且便于见到它们便是胸襟的平方(假定Clifford代数定义在一个持有度量结构的几乎哪流形上)。

  在如何规定联络的切切实实形式方面,Riemann几何用的适配条件是对度规张量的协变微分为零星。可我们现尚无度规张量,从而只能采用任何一样栽概念方式。
  另一方面,在风俗的Finsler微分几哪中,我们可以小心到于很非常一接近Finsler流形上,连接两点之自平行曲线(即通常所说的“直线”)和连两触及之太缺曲线非常可能无是一致条直线,也就是说在Finsler流形上一般不有“连接两点最缺少的是直线”这样的几何直观和几何经验。可要我们渴求立即点持续维持,会如何啊?
  要求就点持续保持,就等于是说要求于平行曲线必须是极其值曲线,即下面两单方程必须以建立:

Finsler几何当然不是二次型度量的,所以不能够直接使用上述Clifford代数结构,从而传统的Finsler几何用如下形式的定义在节丛上之内积:

  这样,引入辅助0流齐次对称张量

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暨度量F是千篇一律品级齐次的,我们可以于起联络:

可这种概念之欠缺,就是有限独流形上矢量的内积还在第三个矢量的势头(因为凡概念在节丛上的),这点我为是起接触反传统的。

越来越,利用预设联络对V来说是线性的,引入上述辅助张量的欢迎:

那么,如果我们这里强行以Clifford型内积,会得什么呢?

及支援-1阶齐次张量:

最好简便的,当然是一直行使如下形式的内积定义:

咱们得起:

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一旦越来越考虑到此矢量Vμ作方向存在用不应该显含其针对性坐标的微分,那么地方的结果可以运用Cμνλ的-1阶齐次的特征而收获结果:

可,我们且晓得,Clifford型内积的意味其实呢并无唯,比如下面就几乎独当二次型Q的状态下是齐价格的:

  可见,定义依赖让输运方向的线性的牵连函数还是得起的。
  这里,联络的第一片段及传统Riemann几哪里上的克氏副是同等之,而第二部分受到的-1阶齐次张量以Riemann几哪里中恒为零,从而是Finsler几哪里上所特有的一些——这点当传统的Finsler几何中吗是这样。
  更有意思之是,由于-1阶齐次函数的特点,我们得以了解就第二部分其实可以随着直达一个随机的参数n而未移结果,因此今关系事实上可以写为:

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此间的亚片段当花样达到挺轻受丁想起Riemann几哪里中的扰率,但实质上即两边却是那个无一样的,我们实际还足以引入一个独的倒对称张量Tμνλ与Vμ的积TμνλVλ来当扰率存在如未影响结果。
  由于联系现在因让方向,从而联络对于输运方向一般是非线性。但对此输运的矢量却是线性的,从而这样的关联可以对各种张量定义(协变张量的协变微分这里早已为来,而逆变张量的协变微分则可由此对偶性得到)。而且,也由于联系对输运方向是非线性的,从而现在天然地就算会见起扰率(而不管需引入上述提及的反对称扰率张量):

可是对此Finsler度量,上述几个姿态彼此之间是免抵的,有夫对某些Finsler度量,如果非饱大一路齐次,而是弱一品级齐次,那么此时咱们有:

此处后的隐含联络的一些更换给出了扰率算符:

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  显然,现在扰率的起是由于度量的取向依赖性而本来引入的,并不需要如Riemann几何中那么样额外地给起和度规无关之不予称有些作为扰率。
  进一步我们得定义Riemann曲率张量:

于是点式子中之矢量差有Q(u-v)就更换得死玄妙了,到底是u-v还是v-u?

进而有:

此地,我们引入第二只假设:Finsler的内积是非对易的。

得望,现在本来是张量的扰率和曲率,现在都改成了张量性算符,即要为出方向,便可以于起由当时片单方向所规定的一个矢量或者张量。
  如果我们发矣缩并算子,那么即便可以Riemann曲率算符给出Ricci曲率算符Rμ(Aμ),接着再利用缩并算子来让出Ricci曲率标量。
  从样式达到的话,现在线性部分代表切丛纤维内的照,而作函数参数的鲜个趋势虽全是流形上的,从而以小及底流形在形式上加以了区别。
  相比传统Finsler微分几何,我们发现众多依让第三方矢量而定义之曲率张量还石沉大海了,比如Flag曲率等等。
  但为无可知说啊得都没有,毕竟现在具有的几乎哪都定义在切丛上,从而现在要做物理的话,意义为即更简明了——我们以传统Finsler微分几哪中连无确定就第三在矢量的情理意义是什么,只能于闹各种假定。

这就是说,现在,我们不怕使用如下形式的内积来谈谈:


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啊,大致就是整治成这样了咔嚓。

夫内积的定义在L为黎曼型度量的时光自然回归至黎曼型内积,而在非黎曼型的Finsler度量下,则会吃有不同之结果——特别是,如果Finsler度量具有强一级齐次性,那么是内积是指向如的;但如果只生弱一流齐次性,那么是内积非对如,非对如之有些足领略为扰率。


脚我们就此|V|来代表流形上矢量V在上马所说之Finsler型度量的黎曼有些作用下的长度,从而对弱Finsler流形,上述内积可以为出如下形式:

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发生了胸怀,我们可来拘禁流形上之极值曲线:


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暨由平行曲线:

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其间风偏导是本着坐标的偏导,而变分符号在此处表示针对矢量部分的偏导,联络函数对亚单变量是同样号齐次的。

若是我们要求极值曲线以及自平行曲线在任何情况下都等,那么尽管可以收获联络的发挥:

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于弱Finsler极限下就闹(上标V表示是V的函数):

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其中

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故此就来(注意对亚只参数的一模一样流齐次要求):

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其中

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可看看,这么选择的关联函数,对于片独参数还是同样阶段齐次的,算是一个良好之性能。更距离的话,对于方向矢量V不是线性的若一味是一致号齐次,而于被输运矢量A确实线性的。

以此形式当然是未唯一的,尤其对某些量到底是选A还是V,其实产生非常充分之任意性。这里要考虑的还是关于第二独参数的相同号齐次要求,接着就是尽可能要受输运的矢量的意向简单,从而一切的复杂性只体现于倾向的选项上。

从最终之达来拘禁,联络函数的率先桩之第一组成部分是传统黎曼引力项,第二件的首先部分凡民俗专业场项。第一码与第二起的亚有的则还是引力与规范场的耦合项,且第一桩的第二局部于挑选传统规范场形式之上自动消失。

假若规范场的有,在给定速度之表达式中,我们好认为粒子运动的切矢量的长度也常反复都模为1,从而第一起是引力加速度,第二宗是规范场导致的加快度,第三桩则是跟速之老三级项有关,从而会让起快速移动下的高能修正,因此若是模型是是的,那么我们得预料在高能下会生出差之粒子行为。第四桩在人情专业场下自动消失从而不考虑。

有关联络函数最后之一部分,则是一个非对称项,可以视为扰率,这里不考虑。

对接下,让咱们谈谈一个很有趣也老有难度,同时也是一个实验性的话题:上述是流形上的曲率,是略?

更进一步,曲率标量R现在凡啊?


出于我们现在撤回了原本Finsler几哪定义在节丛上之度规张量,所以于怎样做内积是一致宗很不便办的行。

即我们好透过极端开始的道定义两独矢量的内积,但对此再次常见的张量,恐怕是力不从心的。

否之,这里我们运用如下方案:

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个中曲面dΩ是流形上的单位球面,即指标球,而矢量n就是打球心指向单位球面的单位向量。

透过上述积分得到的标量T,在黎曼几乎哪中与张量T对下标的缩并得到的标量之间,只差一个出于流形维度决定的系数。

若果我们拿分子于积函数拓展为一个n阶张量同n个单位矢量构成的函数,那么这积分的特点,就是要是该数中寓奇数不成单单位矢量,那么这个积分也0;如果带有偶数坏单,那么会获取无零底结果,其中倘达到花样的亚次显示可以被出张量的缩并。

要是于弱Finsler流形上,这个特性会迥然不同:由于单位矢量被度量的h部分做了强化,从而产生或会见在奇数不好项中养非零部分。

专门,当我们考虑的是专业场形的弱Finsler流形时,这种“激化”由标准矢量场A给出。

从而,如果我们应用上述积分形式来作张量缩并的方案吧,那么我们就算好继承讨论在苟达到框架下的流形曲率的问题了。

为简单起见,我们本要是上述弱Finsler流形的黎曼度量部分是Minkowsky的,从而现在流形的联络函数可以描绘为:

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当今我们着想交错协变微分(弱Finsler极限下):

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搭下去,对其考虑前面所说之积分。

率先,将U与A取为眼前所说的单位矢量做积分,接着还受结荚跟矢量V一起做缩并,就好取如下结果:

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其中上标(1)的有来场强H与一个单位矢量的联名积分,上标(2)的片自场强H与简单只单位矢量的共同积分。

立马东西是匪是圈在大深熟知?

咱用规范矢量场A及其场强F代入:

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用,在当作用量之时段,在备空间积分并忽略边界项后只是得:

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乃看,和民俗规范场的作用量就差一个经常反复系数,从而可以看有规范场形式之弱Finsler流形当黎曼有也闵氏度量的时吃闹的即是规范场。

当黎曼有非是闵氏度量时候,我们也堪开同样的操作,此时见面拿走黎曼部分对应之广义相对论的Ricci标量,上述标准场强,以及规范场部分与黎曼引力部分的耦合项。

而,就和粒子运动有以便捷状态下会和民俗黎曼几哪里有异样一样,对于黎曼引力部分未为零星之状况,规范场和引力场的耦合的形式和传统的悬殊,因此于高能情况下啊是得说明的。


这里要要指出的一点凡,上述计算是几乎沾特别不审慎的地方。

主要就对于缩并用的积分的算计,这个匡以欧氏几哪上得以让出所要的结果,在黎曼几乎哪里上啊得,但对时空这种赝黎曼几哪,则是存一个无穷大发散的,将以此无穷大发散扣除后底有数部分,可以被出所要的结果。

但这种“正规化”为什么可以开,则只是是一律栽随意的选料,目前并不知道什么依据——或许是经Wick转动,从时空转动到欧氏空间,然后开积分,再变更回来,这反是老传统的量子场论中之所以过的招数。

单,即便是黎曼几哪上从来不问题,这个积分在Finsler几何下是否仍成立,这就未清楚了。当然,这里处理的凡弱Finsler几何,所以可能要有效的吧。


末是有议论。

纵然与紧致化是针对性蜷缩的额外维做展开后只是落一阶项一样,这种弱Finsler几何的方法吗是对准Finsler度量做微扰后止得到展开的如出一辙阶项,两者在此思想上是均等之,随后的差异就体现于弦论是指向所有额外维的黎曼几哪里做拍卖,而Finsler几哪里则是对准持有非黎曼度量的四维Finsler时空做拍卖。

和片量子引力的宗(比如这次吴岳良院士所用的自郭汉英等老一辈我国物理学家开始就之所以的Lorentz群规范场的派别)中将广义相对论中当流形联络的引力变为纤维主丛联络的办法不同,这里不再以外延几哪里转化为内涵几哪,而是反过来,将原本作为内蕴的纤维丛性质的规范场视为外延的心路上的Finsler型变化,从而是拿内涵几何转化为外延几哪里。

弦论利用额外维来开这种由内而外的扭转,其实也是一个想方设法。

当了,至于最后能无克做成,这个另说,或许是模型始终为不过是一个Toy罢了。

再就是,这里时空之胸怀似乎是定死的,完全不吃带荷粒子所带的力荷的熏陶,这种对负有物质一视同仁的性状,显然会受出未牵动电粒子的作为吗和带电粒子一样这种古怪的业务。因此,或许莫过于状况时空的心胸会趁机在该及运动的粒子的某些性能而更改,也要是模型不过确实就惟有是一个Toy罢了——个人手上支持被后世。

并且,这里肯定让出了高能下截然不同的行,这我就特别有挑战——因为简单的实验大约就是能够把及时卖到底否掉了吧。

自然为有非常有些特别有些之或者,我们找到了统一引力与规范场的框架,科科~


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